Real Number

Real Number 实数

• Integer 整数
• Rational Number 商数（有理数）：两个整数的商，分母非零
• Real Number 实数：有理数的缝隙，使用Dedekind Cut，能在有理数的缝隙上定义出唯一的实数（Dedekind Completeness Theorem）。

flowchart
	dedekind[Dedekind definition]
	supremum[supremum principle]
	monotone[monotone convergence theorem]
	nested[nested interval theorem]
	covering[finite covering theorem]
	bolzano[Bolzano-Weierstrass theorem]
	cauchy[Cauchy covergence criterion]
	
	dedekind --> supremum
	supremum --> monotone
	monotone --> nested
	nested --> covering
	nested --> bolzano
	bolzano --> cauchy

实数完备的意义：实数集没有缝隙

实数完备性的六大等价定理

1. 确界原理（supremum principle）：实数集的任意非空有上界的子集必有上确界（最小上界）
2. 单调有界定理：单调有界数列必收敛
3. 区间套定理：闭区间套必收敛到唯一实数
4. 有限覆盖定理：闭区间的开覆盖必有有限子覆盖
5. 聚点定理（Bolzano-Weierstrass Theorem）
6. 柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是柯西列
   • Cauchy Sequence: $\forall ϵ>0,\exists N,|x_m-x_n|<ϵ$

Dedekind Definition

实数的戴德金定义

Dedekind Cut 定义的实数集: 实数集被定义为所有$\mathbb{Q}$的戴德金分割：

partition of $\mathbb{Q}$ into two sets $A$ and $B$ such that:

1. Each element of A is less than B
2. A contains no largest element

Another Interpretation of this definition is: every real number is defined as a subset of rational number set $\mathbb{Q}$.

Dedekind Completeness Theorem

Proposition：实数集$\mathbb{R}$的有序分划（$A\cap B=\varnothing$、$\forall a\in A,b\in B,a<b$）确定一个唯一的实数

在实数集$\mathbb{R}$中，非空有上界的集合，必定存在一最小上界（Supremum）

集合$S$中所有实数对应的戴德金分割左集的并集：

$$\gamma =\bigcup _{\alpha \in S}\alpha$$

$\gamma$ 是一个戴德金分划（是一个实数）

• $\gamma$是一个有理数集：$\alpha$都是有理数集
• $\gamma$非空非$\mathbb{Q}$：$S$ 有上界$\beta$，因此$\alpha \subseteq \beta$，因此$\gamma \subseteq \beta ⊊Q$，
• 向下封闭性/有序性：任意$p,q\in \gamma$，如果$q<p$，那么$\exists \alpha ,p\in \alpha$，又$q\le p$，$q\in \alpha \to q\in \gamma$，所以$q\le p\to q\in \gamma$，或$q\in Q\backslash P\to q>q$
• 无最大元：$\forall p\in \gamma ,\exists \alpha ,p\in \alpha \to \exists p^{\prime }\in \alpha s.t.p^{\prime }>p$

$\gamma$是$S$的一个上界：

• $\forall \alpha \in S,\alpha \subseteq \gamma \to \alpha <\gamma$

$\gamma$是$S$的最小上界：

• 对于$S$的任意上界$\delta$，$\forall \alpha \in S,\alpha \subseteq \delta \to \gamma \subseteq \delta \to \gamma <\delta$

实数即集合

在Dedekind Cut的定义里，实数是由分割定义的，因此这个分割的左集——比它小的有理数集合就定义了一个实数。

实数次序的定义

$\gamma <\delta \iff \gamma \subseteq \delta$

上确界原理 证明思路

Dedekind Cut定义的实数是有理数集的有序分割左集，任意有上界的实数集都能转换为对应有理数分割左集的并集。实数集等价的有理数分割左集并集也是几个有理数集，也对应一个实数，而其为实数集的最小超集，因此当有上界的时候，上确界存在且总是等于实数集等价的有理数分割左集并集。

Dedekind Completeness Theorem 证明思路

证明上确界原理：所有有上界实数集都有上确界，从而所有实数集分划左集都有上确界，从而有序分划能唯一确定一实数。 [!note] 为什么确界原理就是实数完备性

确界原理说任意有界实数集合都有上确界，就是说实数的任意分划能靠左集的有界性能确定唯一的一个实数。这样实数就不会像有理数一样，分划不能用来确定唯一的有理数，即“有洞”了。

有理数的稠密性：在任意两个实数之间，能找到有理数。

对于$a,b\in \mathbb{R}$，$\exists N\in \mathbb{Z},1/N<b-a,\exists k\in \mathbb{Z}k<na<k+1$，所以总有$nb>na+1>k+1,na<k+1\to a<\frac{k+1}{n}<b$

Monotone Convergence Theorem

单调有界的数列收敛 $\exists M,a_n<M$，$\lim a_n$ 存在。

根据上确界原理，设$\{x_n\}$ 的上确界为$\gamma$

$$\forall ϵ>0,\exists N>0,\gamma -ϵ<a_N<a_n<\gamma +ϵ$$

因此单调有界的数列必收敛，且收敛于上确界

Nested Interval Theorem

闭区间Compactness

有且仅有唯一的点，属于所有区间

闭区间列$\{I_n\}$，$I_n=[a_n,b_n]$，

1. $I_{n+1}\subseteq I_n$
2. ${\lim }_{\infty }(b_n-a_n)=0$

左端点序列$\{a_n\}$单调递增且有界，因此极限$\alpha ={\lim }_{n\to \infty }{a}_n$存在且$a_n\le \alpha$ 右端点序列同理，$\beta ={\lim }_{n\to \infty }{b}_n$存在，且$b_n\ge \beta$，由极限运算法则和区间长度趋向零得：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(b_n-a_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n-\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\alpha -\beta =0⟹\alpha =\beta$$

$\xi =\alpha =\beta$ 同时小于等于所有$b_n$，同时大于等于所有$a_n$，因此$\forall n,\xi \in I_n$ 唯一性：如果有两个${\xi }_1<{\xi }_2$都在$I_n$内，那么左右端点序列就有不同的极限，与区间长度趋向零矛盾。因此$\xi$唯一。

开区间套不能确定唯一的点：$(0,1/n)$内的任意$\xi$总存在足够大的$N$使得$\xi >1/N$ 从而$\xi \notin I_N$

Finite Covering Theorem (Heine-Borel Theorem)

闭区间 Compactness

1. Open Cover：集合$K$的开覆盖$\{U_{\alpha }\}$，$\forall k\in K,\exists \alpha ,k\in U_{\alpha }$，$U_{\alpha }$是开区间
2. Finite Subcover

闭区间$K$存在开覆盖，则有有限覆盖： 假设$K$不能被有限覆盖，二分$K$，选择一不能被有限覆盖的区间作为$I_0$，继续此操作构建闭区间套$\{I_n\}$，从而由闭区间套定理，确定唯一的实数$\xi$，而由于$\{U_{\alpha }\}$覆盖$K$，$\exists U_0,\xi \in U_0$，由于开覆盖，$\exists \delta ,I_n\subset (\xi -\delta ,\xi +\delta )\subset U_0$，从而被定义成不能被有限覆盖的区间被有限覆盖了，矛盾。

Bolzano-Weierstrass Theorem

聚点定理

有界数列必有收敛子列

有界无穷数列必有聚点（收敛子列）

证明 令$I_1=[-M,M]$，$I_2$为二分的$I_1$中包含无穷项的一半，以此构造闭区间套$\{I_n\}$，从而能确定唯一的点$\forall n,\xi \in I_n$。从每个$I_k$中选择$x_{n_k}$，则由夹逼定理：${\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}=\xi$

Cauchy Convergence Criterion

柯西收敛准则

实数数列$\{a_n\}$收敛的充要条件是该数列为柯西数列(Cauchy Sequence):

$$\forall ϵ>0,\exists N>0,\forall m,n>N,|x_m-x_n|<ϵ$$

proof:

必要性

$$|x_m-x_n|=|x_m-a+a-x_n|\le |x_m-a|+|x_n-a|$$

显然，数列若收敛，必为柯西列

充分性：

柯西列有界，因此存在收敛的子列收敛于$a$，选取子列时下标$n_k$随着$k$增大而增大且$n_k\ge k$

因此$|x_n-a|<|x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|$

对于任意$ϵ>0$，找到使得柯西列差值与a距离、收敛子列与a距离都小于$ϵ/2$的$N_1,K$，选择$N=\max \{N_1,K\}$，则 $n>N_1,n_k>n>N_1,n_k>K⟹|x_n-a|<ϵ$