Real Number

Real Number 实数

  • Integer 整数
  • Rational Number 商数（有理数）：两个整数的商，分母非零
  • Real Number 实数：有理数的缝隙，使用Dedekind Cut，能在有理数的缝隙上定义出唯一的实数（Dedekind Completeness Theorem）。

Dedekind definition

supremum principle

monotone convergence theorem

nested interval theorem

finite covering theorem

Bolzano-Weierstrass theorem

Cauchy covergence criterion

实数完备的意义：实数集没有缝隙

实数完备性的六大等价定理

  1. 确界原理（supremum principle）：实数集的任意非空有上界的子集必有上确界（最小上界）
  2. 单调有界定理：单调有界数列必收敛
  3. 区间套定理：闭区间套必收敛到唯一实数
  4. 有限覆盖定理：闭区间的开覆盖必有有限子覆盖
  5. 聚点定理（Bolzano-Weierstrass Theorem）
  6. 柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是柯西列
    • Cauchy Sequence:

Dedekind Definition

实数的戴德金定义

Dedekind Cut 定义的实数集: 实数集被定义为所有的戴德金分割：

partition of into two sets and such that:

  1. Each element of A is less than B
  2. A contains no largest element

Another Interpretation of this definition is: every real number is defined as a subset of rational number set .

Dedekind Completeness Theorem

Proposition：实数集的有序分划（、）确定一个唯一的实数

在实数集中，非空有上界的集合，必定存在一最小上界（Supremum）

集合中所有实数对应的戴德金分割左集的并集：

是一个戴德金分划（是一个实数）

  • 是一个有理数集：都是有理数集
  • 非空非： 有上界，因此，因此，
  • 向下封闭性/有序性：任意，如果，那么，又，，所以，或
  • 无最大元：

是的一个上界：

是的最小上界：

  • 对于的任意上界，
实数即集合

在Dedekind Cut的定义里，实数是由分割定义的，因此这个分割的左集——比它小的有理数集合就定义了一个实数。

实数次序的定义

上确界原理 证明思路

Dedekind Cut定义的实数是有理数集的有序分割左集，任意有上界的实数集都能转换为对应有理数分割左集的并集。实数集等价的有理数分割左集并集也是几个有理数集，也对应一个实数，而其为实数集的最小超集，因此当有上界的时候，上确界存在且总是等于实数集等价的有理数分割左集并集。

Dedekind Completeness Theorem 证明思路

证明上确界原理：所有有上界实数集都有上确界，从而所有实数集分划左集都有上确界，从而有序分划能唯一确定一实数。
[!note] 为什么确界原理就是实数完备性
确界原理说任意有界实数集合都有上确界，就是说实数的任意分划能靠左集的有界性能确定唯一的一个实数。这样实数就不会像有理数一样，分划不能用来确定唯一的有理数，即“有洞”了。

有理数的稠密性：在任意两个实数之间，能找到有理数。

对于，，所以总有

Monotone Convergence Theorem

单调有界的数列收敛 ， 存在。

根据上确界原理，设 的上确界为

因此单调有界的数列必收敛，且收敛于上确界

Nested Interval Theorem

闭区间Compactness

有且仅有唯一的点，属于所有区间

闭区间列，，

左端点序列单调递增且有界，因此极限存在且
右端点序列同理，存在，且，由极限运算法则和区间长度趋向零得：

同时小于等于所有，同时大于等于所有，因此
唯一性：如果有两个都在内，那么左右端点序列就有不同的极限，与区间长度趋向零矛盾。因此唯一。

开区间套不能确定唯一的点：内的任意总存在足够大的使得 从而

Finite Covering Theorem (Heine-Borel Theorem)

闭区间 Compactness

  1. Open Cover：集合的开覆盖，，是开区间
  2. Finite Subcover

闭区间存在开覆盖，则有有限覆盖：
假设不能被有限覆盖，二分，选择一不能被有限覆盖的区间作为，继续此操作构建闭区间套，从而由闭区间套定理，确定唯一的实数，而由于覆盖，，由于开覆盖，，从而被定义成不能被有限覆盖的区间被有限覆盖了，矛盾。

Bolzano-Weierstrass Theorem

聚点定理

有界数列必有收敛子列

有界无穷数列必有聚点（收敛子列）

证明
令，为二分的中包含无穷项的一半，以此构造闭区间套，从而能确定唯一的点。从每个中选择，则由夹逼定理：

Cauchy Convergence Criterion

柯西收敛准则

实数数列收敛的充要条件是该数列为柯西数列(Cauchy Sequence):

proof:

必要性

显然，数列若收敛，必为柯西列

充分性：

柯西列有界，因此存在收敛的子列收敛于 Bolzano-Weierstrass Theorem，选取子列时下标随着增大而增大且

因此

对于任意，找到使得柯西列差值的距离、收敛子列与a距离都小于的，选择，则